Dimensiones de un aeromodelo. la ley cuadrático-cúbica

Cuando estamos diseñando un modelo en mas de una ocasión podemos estar tentados de tomar el camino fácil y sencillamente cambiar la escala de un modelo ya conocido. Por ejemplo, disponemos del plano de un modelo acrobático de 1400 mm de envergadura con 32 dm2 y unos 2000 gr de peso y pensamos en construir el mismo modelo pero incrementando la envergadura a 2000 mm.

En este re-escalado del modelo debemos tener en cuenta un concepto que se conoce como La ley cuadrático-cúbica, un principio matemático-geométrico que describe la relación entre volumen y área de un cuerpo a medida que aumenta o disminuye su forma o figura. Presentación1

Su enunciado seria el siguiente: Cuando un objeto se somete a un aumento proporcional en tamaño, su nuevo volumen es proporcional al cubo del multiplicador y su nueva superficie es proporcional al cuadrado del multiplicador.

Se puede representar matemáticamente como:

$v_{2}=v_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3}$

donde:

$v_{1}$ es el volumen original,

$v_{2}$ es el nuevo volumen,

$\ell _{1}$ es la longitud original

$\ell _{2}$ es la nueva longitud.

$A_{2}=A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2}$

donde $A_{1}$ es el área original y $A_2$ es la nueva área.

Aplicando este principio a la ingeniería cuando a un objeto físico, manteniendo la misma densidad, se le agranda, su masa se incrementa por el cubo del multiplicador, mientras que su superficie sólo aumenta por el cuadrado de dicho multiplicador. Esto significa que cuando el objeto final se acelera al mismo ritmo que el original, más presión se ejerce sobre la superficie del mismo.

Por lo tanto, el aumento del tamaño de un objeto, manteniendo el mismo material de construcción (densidad), y la misma aceleración, podría aumentar el empuje por el mismo factor de escala. Esto indicaría por qué el objeto tendría menos capacidad para resistir el estrés y sería más propenso al colapso mientras se acelera.

Volviendo al ejemplo inicial, si aplicamos el factor de escala necesario para ampliar el modelo a dos metros el resultado. final sera un 43% mas grande y la carga del ala aumentara en la misma proporción.

incremento de tamaño copy.jpg

Aplicando el factor de escala o multiplicación la nueva superficie del modelo sera de 65 dm2 y su nueva masa rondara los 6 kilos si lo construimos con los mismos materiales con una carga alar resultante de unos 90 gr/dm. El modelo resultante es proporcionalmente mas pesado, volara mas rápido aunque de la impresión de ir mas lento.